Velocidad relativa

La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de uno de ellos tal como la mediría un observador situado en el otro. Denotaremos al valor la velocidad relativa del cuerpo B respecto al cuerpo A como .

Velocidad relativa en mecánica clásica

Dados dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por un tercer observador son ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{A}}\,}$ y ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{B}}\,}$, respectivamente, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{BA}}\;}$ y viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{BA}}=\mathbf {v} _{\text{B}}-\mathbf {v} _{\text{A}}}$

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{AB}}\;}$ y viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{AB}}=\mathbf {v} _{\text{A}}-\mathbf {v} _{\text{B}}}$

de modo que las velocidades relativas ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{BA}}\;}$ y ${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{AB}}\;}$ tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos.

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es totalmente aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa.

Consideremos dos partículas A y B que se mueven en el espacio y sean ${\displaystyle {{\mathbf {r} }_{\text{A}}}}$ y ${\displaystyle {{\mathbf {r} }_{\text{B}}}}$ sus vectores de posición con respecto al origen O de un referencial dado. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial son

${\displaystyle {{\mathbf {v} }_{\text{A}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{A}}}}{dt}}\quad \quad \quad \quad {{\mathbf {v} }_{\text{B}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{B}}}}{dt}}}$

Los vectores de posición de la partícula B con respecto a la A y de la A con respecto a la B están definidos por

${\displaystyle {{\mathbf {r} }_{\text{BA}}}={\overrightarrow {\text{AB}}}={{\mathbf {r} }_{\text{B}}}-{{\mathbf {r} }_{\text{A}}}\quad \quad \quad \quad {{\mathbf {r} }_{\text{AB}}}={\overrightarrow {\text{BA}}}={{\mathbf {r} }_{\text{A}}}-{{\mathbf {r} }_{\text{B}}}}$

y las velocidades de B con respecto a A y de A con respecto a B son

${\displaystyle {{\mathbf {v} }_{\text{BA}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{BA}}}}{dt}}\quad \quad \quad \quad {{\mathbf {v} }_{\text{AB}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{AB}}}}{dt}}}$

de modo que al ser ${\displaystyle {{\mathbf {r} }_{\text{BA}}}=-{{\mathbf {r} }_{\text{AB}}}}$ también resulta que ${\displaystyle {{\mathbf {v} }_{\text{BA}}}=-{{\mathbf {v} }_{\text{AB}}}}$. Esto es, las velocidades relativas de B con respecto a A y de A con respecto a B son iguales y opuestas. Efectuando las derivadas indicadas en resulta

${\displaystyle {{\mathbf {v} }_{\text{BA}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{BA}}}}{dt}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{B}}}}{dt}}-{\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{A}}}}{dt}}={{\mathbf {v} }_{\text{B}}}-{{\mathbf {v} }_{\text{A}}}}$

${\displaystyle {{\mathbf {v} }_{\text{AB}}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{AB}}}}{dt}}={\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{A}}}}{dt}}-{\frac {d{{\mathbf {r} }_{\text{B}}}}{dt}}={{\mathbf {v} }_{\text{A}}}-{{\mathbf {v} }_{\text{B}}}}$

de modo que obtendremos la velocidad relativa entre las dos partículas restando vectorialmente sus velocidades con respecto a un mismo referencial

Cinemática del sólido rígido

El concepto de velocidad relativa es particularmente útil en la cinemática del sólido rígido. Si se acepta que las distancias entre los diversos puntos de un sólido rígido no varían duranto, entonces, conocida la velocidad angular ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,}$ del sólido en cada instante y la velocidad de un punto P del mismo, podemos conocer la velocidad de cualquier otro punto P' mediante la relación:

donde:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\text{P}},\,\,\mathbf {v} _{\text{P'}}}$, son las velocidades de los puntos P y P' medidos en un mismo referencial considerado como fijo o absoluto.

${\displaystyle {\overrightarrow {\text{PP'}}}}$ es el vector posición del punto P' con respecto al punto P; esto es que tiene como origen el punto P y como extremo el P'. En general, este vector, aunque de módulo constante, cambiará de dirección en el espacio en el transcurso del tiempo.